根軌跡繪圖筆記

根軌跡

根軌跡圖是由Walter R. Evans所發展的技巧，是經典控制理論中的穩定性判據，可以判斷線性非時變系統是否穩定。根軌跡圖是在複數平面中，系統閉迴路傳遞函數的極點隨著增益參數的變化。(維基百科)

即系統參數K從負無窮大到正無窮大變動時，特徵方程式的根在複數平面上移動的軌跡。

根軌跡與極零點

• 起點：在根軌跡上，Ｋ＝０的點為系統轉移函數的極點。
• 終點：在根軌跡上，Ｋ＝正負無窮大　的點為系統轉移函數的零點。

切入點與分離點

• 切入點(break-in point)：根軌跡由複數平面進入實數軸的點，K為線段內最小值。
• 分離點(break-away point)：根軌跡由實數軸進入複數平面的點，K為線段內最大值。

根軌跡實作

在Matlab的m檔案中先求出轉移函數，再利用rlocus將根軌跡圖繪出，如下圖。

根軌跡圖的各變量說明如下：

在命令視窗輸入 "rltool" 指令，即可出現一個圖形介面。

在Edit Architecture的選項中選擇第一個，也就是最基本的架構。

接著進行如圖的參數設定。
 

參數設定好，會出現Step Response圖與根軌跡圖。

紅點代表閉迴路的極點。當根往右邊跑，步階響應的震盪越大，一旦超過虛軸，系統會變得不穩定。

對著根軌跡圖，按右鍵，相關參數意義說明如下圖。

阻尼比越大，最大超越量越小。不論是二階或三階系統都適用。

阻尼比在電路中代表電阻，在機械中代表緩衝頭。

透過上述所有技巧，即可依據控制器規格，進行相對應設計。

範例練習1：

Step1.建立系統的轉移函數

Step2.在命令視窗輸入 " rltool " 指令，啟動控制器設計的介面(Control System Designer)

Step3.在Control System Designer介面中設定控制器架構 (本例選第一個架構)

Step4.檢視根軌跡圖

當極點在虛軸(Y軸)右半邊，系統不穩定狀態。

當極點在虛軸(Y軸)左半邊，系統呈現穩定狀態。

範例練習2：

呈上題

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參考資料：

• 維基百科：根軌跡圖
• 自動控制_毛偉龍_單元九 根軌跡分析(II)_Part A 根軌跡整體繪製(I)
• Ch5 根軌跡圖

#根軌跡 #安定時間 #最大超越量